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VIDEOS TUTORIALES SOBRE LAS FUNCIONES INYECTIVAS, BIYECTIVAS Y SOBREYECTIVAS:).

Conjuntos de números Z y Q; Funciones y Clasificaciones

Conjunto de numero (Z) y (Q) funciones y clasificaciones

Funciones y Clasificaciones de los números enteros z

Función Inyectiva: es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO A: 

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x² – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
f(x)	2	–1	–2	–1	2

x	–2	–1	0	1	2
g(x)	9	2	1	0	–7

EJEMPLO B: 

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x³.

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

Función Biyectiva:

Ejemplo:

A = {a , e , i , o , u }

B = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

Función Sobreyectiva

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Función Inversa: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Permutaciones:  Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Pn=n!

Ejemplos: 

1. Calcular las permutaciones de 6 elementos.

P₆ = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
P5=5!=.54.3.2.1=120

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

P8=8!=40320

Conjunto de números racionales Q funciones y clasificaciones:

Funciones algebraica

     En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radiación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

     La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a >  0 y abre hacia abajo si a < 0.

Función racional: Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Para los polinomios f(x) y g(x).

Ejemplos:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función de potencia

     Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = x^r, donde r es cualquier número real.

     Las funciones f(x) = x^4/3 y h(x) = 5x^3/2 son funciones de potencia

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x. 

b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 − 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x − 1)²

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

     Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.

     Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

     Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función f(x) = 5x² + 2

     Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2
f(2) = 5(2)² + 2
f(2) = 22
por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f(2) = 22.

Un problema resuelto
     El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido. 

a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50 entonces
f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares. 

c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.

 Álgebra de funciones

     Suma, resta, multiplicación y división de funciones Sean f y g dos funciones cualesquiera.

     Se define  como

Ejemplos:

Suma de funciones
Sean las funciones

Resta de funciones

Productos de funciones

Sean las funciones

División de funciones

Sean las funciones

Relación con la vida cotidiana

     En diversas actividades de la vida diaria se presentan los cambios y variaciones de manera constante, por lo cual es importante que dichas variaciones se aborden en el contexto de la funciones y clasificaciones, partiendo de imágenes, tutoriales o conceptos fundamentales.

Funciones y clasificación inyectiva, biyectiva y sobreyectiva

Función inyectiva 

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Ejemplo de función inyectiva:

   En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

   Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B

Función Biyectiva:

   Una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Además, a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y); esta es la norma que exige la función sobreyectiva.

Ejemplo de función biyectiva.

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

   Formalmente, para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo:

La función es biyectiva.

Luego, su inversa también lo es.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA:

   una función puede considerarse sobreyectiva cuando cada elemento del condominio es imagen de algún elemento del dominio ; una función no es sobreyectiva cuando al menos un elemento del condominio (conjunto final) no tenga una pre-imagen.

Ejemplo de función sobreyectiva.

   En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el condominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Relación Con la vida cotidiana:

   Este tema es muy importante en la vida cotidiana ya que las funciones Inyectivas, Biyectivas Y Sobreyectivas nos ayudan a expresar la dependencia entre dos magnitudes, y también pueden presentarse a través de varios aspectos complementarios. 

·  Conjunto de números racionales (Q) y sus propiedades:

     Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

    Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.

     Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:

     Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

     Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.

     A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

    Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.

ab+cd=ef

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

ab+cd=cd+ab

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

ab+0=ab

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

ab×cd=ef

Esta además aplica con la división

ab÷cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

ab×1=ab 

 ab÷1=ab

Ejemplos de números racionales

     Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

57

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:

3=31

Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:

155=3

También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:

−6=−61

0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:

2499

Las operaciones de Números Racionales

     Aquí vamos a discutir las operaciones de números racionales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y sacar su factor común:

Suma de números racionales.

     Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar.

Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso:

65+35=6+35=95

Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos:

14+65=520+2420=5+2420=2920

Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior.

Multiplicación de números racionales

La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:

43×56×12=4×5×13×6×2=2036=1018=59

En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes.

En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos:

13×3=13×31=33=1

Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno:

57×75=3535=1

División de números racionales

Para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo:

54÷23=5×34×2=158

Como se puede notar, para dividir los números racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fracción no cambia de orden, pero los de la segunda fracción si lo hacen para lograr el resultado final.

Potenciación de números racionales

Para la potenciación de un número racional, se deben seguir estas simples reglas:
Si el número racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:

anbm

2332=89

Cuando se tiene el mismo valor en el numerador y el denominador, pero distinta potencia para cada uno, podemos sustraer la potencia del denominador de la del numerador y simplificar la fracción a un entero, de esta manera:

aman=am−n

3436=32−6=3−2

Aunque también se puede proceder de esta manera, tomando el mismo ejemplo:

3436=3×3×3×33×3×3×3×3×3=13×3=132=3−2

Para elevar los números racionales a una potencia natural, elevamos el numerador y el denominador a dicha potencia:

(ab)n=anbn

(32)3=3323=278

En el caso de que la potencia sea negativa, simplemente invertimos la fracción y la potencia:

(ab)−n=(ba)n=bnan

(56)−2=(65)2=6252=3625

Si la potencia es -1, simplemente se invierte la fracción:

(ab)−1=ba

(815)−1=158

Cuando la potencia es igual a 0, el resultado es 1:

(ab)0=1

(931)0=1

Si la potencia es igual a 1, el resultado será el mismo número racional:

(ab)1=ab

(1743)1=1743

Si se multiplican potencias con la misma base, en el resultado se mantiene la base y se suman los exponentes:

(ab)n×(ab)m=(ab)n+m

(34)2×(34)3=(34)2+3=3545=2431024

Si dividimos potencias con la misma base, utilizamos el mismo principio que con el producto, es decir que se mantiene la base pero se resta el exponente del segundo número racional del primero

(ab)n÷(ab)m=(ab)n−m

(34)5÷(34)7=(34)5−7=3242=916

Para resolver la potencia de una potencia, se deben multiplicar los exponentes:

[(ab)m]n=(ab)mn

[(23)3]2=(23)6=2636=64729

Al multiplicar números racionales distintos con la misma potencia, se procede a multiplicar la fracción mientras se mantiene el exponente:

(ab)n×(cd)n=(a×cb×d)n

(23)2×(45)2=(2×43×5)2=(815)2

Para dividir números racionales distintos con la misma potencia, se debe realizar el procedimiento de la multiplicación en cruz y mantener el mismo exponente:

(ab)n÷(cd)n=(a×db×c)n

(23)2÷(45)2=(2×53×4)2=(1012)2=(56)2

Relación Con la vida cotidiana

     Los números racionales debido a que están conformados por todos los enteros y fraccionarios y a su ves estos incluyen a los Números enteros y fraccionarios consideramos a todos ellos utilizados en nuestra vida cotidiana.

Por ejemplo:

     Los números acotan todo lo que nos rodea, con pruebas sencillas podemos experimentar la aplicación de la aritmética en la vida cotidiana, desde los sistemas decimales para medir la distancia y la temperatura hasta la utilización del comercio electrónico y el cálculo del número de asistentes a una manifestación.

     Empezamos por lo más sencillo: ¿Cómo saber cuántas ovejas tenemos?, o ¿Cuántas se comió el lobo? hay que contar y para ello utilizamos los números naturales: 1,2,3,4,5...