Conjuntos de números Z y Q; Funciones y Clasificaciones

Conjunto de numero (Z) y (Q) funciones y clasificaciones

Funciones y Clasificaciones de los números enteros z

Función Inyectiva: es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO A: 

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x² – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
f(x)	2	–1	–2	–1	2

x	–2	–1	0	1	2
g(x)	9	2	1	0	–7

EJEMPLO B: 

Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x³.

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

Función Biyectiva:

Ejemplo:

A = {a , e , i , o , u }

B = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

Función Sobreyectiva

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Función Inversa: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Permutaciones:  Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Pn=n!

Ejemplos: 

1. Calcular las permutaciones de 6 elementos.

P₆ = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
P5=5!=.54.3.2.1=120

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

P8=8!=40320

Conjunto de números racionales Q funciones y clasificaciones:

Funciones algebraica

     En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radiación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas: Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

     La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a >  0 y abre hacia abajo si a < 0.

Función racional: Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Para los polinomios f(x) y g(x).

Ejemplos:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función de potencia

     Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = x^r, donde r es cualquier número real.

     Las funciones f(x) = x^4/3 y h(x) = 5x^3/2 son funciones de potencia

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x. 

b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 − 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x − 1)²

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

     Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.

     Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

     Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función f(x) = 5x² + 2

     Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2
f(2) = 5(2)² + 2
f(2) = 22
por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f(2) = 22.

Un problema resuelto
     El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido. 

a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50 entonces
f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares. 

c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.

 Álgebra de funciones

     Suma, resta, multiplicación y división de funciones Sean f y g dos funciones cualesquiera.

     Se define  como

Ejemplos:

Suma de funciones
Sean las funciones

Resta de funciones

Productos de funciones

Sean las funciones

División de funciones

Sean las funciones

Relación con la vida cotidiana

     En diversas actividades de la vida diaria se presentan los cambios y variaciones de manera constante, por lo cual es importante que dichas variaciones se aborden en el contexto de la funciones y clasificaciones, partiendo de imágenes, tutoriales o conceptos fundamentales.